수학올인의 수학 기록

편미분을 이용한 음함수의 도함수, 이계도함수 공식 유도하기 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 편미분을 이용한 음함수의 도함수 공식과, 이계도함수 공식에 대해 다뤄보려 합니다. 물론 고등학교에서 가르치는 방식인 양변을 $x$로 미분한 뒤 $y'$에 대한 식으로 정리하여 도함수를 구할 수도 있습니다. 다만 이 방법은 이후 이계도함수를 구할 때 식이 많이 복잡해지기도 하고 계산실수를 할 확률도 높아서 저는 편미분을 활용한 방법을 더 선호합니다. 음함수 미분의 경우 보통 객관식으로 나오는 경우가 많기 때문에 고등학생이신 분들도 익혀두시면 문제풀이에 바로 적용하실 수 있을 겁니다. (서술형이면 편미분을 사용할 수 없겠죠?) 우선 편미분을 배우지 않은 고등학생 독자분들이 있을 수 있으니 먼저 편미분에 대..

이차 이하의 다항함수를 해로 가지는 함수방정식 안녕하세요 수학올인입니다. 저번 함수방정식 포스팅에 이어 이번 포스팅도 함수방정식을 다뤄보려고 합니다. 물론 경시대회에 나오는 함수방정식 유형과는 조금 다른 함수방정식들을 다루고 있지만요. 이번 문제도 내신 문제를 질문받던 중 문제로 나왔던 함수방정식인데요, 이 함수방정식의 해가 되는 함수 $f(x)$가 이차 이하의 다항함수임을 알고 있으면 풀이 속도가 상당히 빨라지는 문제였습니다. 그럼 시작하겠습니다. 문제 다음 조건을 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 서로 다른 임의의 두 실수 $x, y$에 대하여 $$f'\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ 가 성립한다. 풀이 양변에 $x-y$..

평균값 정리의 변형, Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 평균값 정리의 변형된 형태인 Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem)에 대해 다뤄보려고 합니다. 평균값 정리의 변형된 형태이니 당연히 기존의 평균값 정리로부터 유도가능한 내용이지만, 매번 유도해서 쓰기 번거롭기도 하고 아예 이 Flett의 평균값 정리와 동치가 되는 상황을 물어보는 문제도 있기 때문에 이런류의 문제를 많이 푸는 경우 알아둔다면 나쁠것이 없기도 하죠. Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) : 닫힌 구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a)=f'(b)$..

함수방정식 f'(x)=(f(x+n)-f(x))/n의 풀이 방법 안녕하세요 수학올인입니다. 최근 질문받은 내신 문제 중 흥미로운 문제가 있어 글을 쓰게 되었는데요. 이번 글에서는 제목과 같이 함수방정식 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 의 풀이 방법과 그 해에 대해서 다뤄보겠습니다. 문제 모든 실수 $x$와 모든 자연수 $n$에 대하여 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 를 만족시키는 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 풀이 주어진 식에 $n=1$을 대입하면 모든 실수 $x$에 대하여 $$f'(x)=f(x+1)-f(x)$$ 를 얻는다. 함수 $f(x)$가 미분가능하므로, 함수 $f'(x)$도 미분가능하다. 양변을 미분하면 $$f'..