수학올인의 수학 기록

[수학] 교과내로 지수함수 다항함수 로그함수의 속도를 비교하는 방법안녕하세요. 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 고등학교 과정으로 로그함수, 다항함수, 지수함수의 속도 비교에 대해 다뤄보겠습니다. 주로 고등학교에서 미적분을 배우면 초월함수의 극한을 다룰 때 로그함수는 다항함수보다 느리다.지수함수는 다항함수보다 빠르다. 라는 말을 들어보신 적이 있으실겁니다.여기서 속도가 느린 함수, 빠른 함수의 의미는 (느린 함수)/(빠른 함수) 의 극한이 0으로 간다는 의미입니다. 저런 말을 들어본 것 뿐 아니라 문제를 풀때도 문제의 끝에 달린$$\lim_{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0$$같은 조건을 보신 적이 있으실 겁니다. 이 조건을 왜 주는걸까요?평가원의 오피셜 답변이 있는지는 모르겠으나, 제 생각..

[수학] 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 제목과 같이 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법에 대해 알아보겠습니다. 다항함수는 다항함수고 지수함수는 지수함수인데, 이걸 증명할 거리가 되나 하는 생각도 드실겁니다.그러나 막상 $e^x$가 다항함수가 아님을 어떻게 보일까? 하면 조금 막막하기도 하고간단한 방법이 바로 떠오르지는 않습니다. 가장 잘 알려져 있는 방법은 $n$차 다항함수라고 가정하고 극한$$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^{n+1}} =\infty$$을 이용하여 모순을 보이는 방법이 있는데요. 이걸 증명하기 위해서는 또다시 로피탈의 정리나 따로 부등식을 잡아서 위의 극한값을 정당화해야 합니다.그래서 ..

2025학년도 수능 수학 22번 풀이 (251122 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(나)조건으로부터 다음의 세 식을 얻을 수 있다.$$\begin{cases} |a_1| \neq |a_3| \\ |a_2| \neq |a_3| \\ |a_3| = |a_5| \end{cases}$$ 이제 $|a_3| = |a_5|$로부터 가능한 경우를 찾아보자. i) $a_3$가 홀수인 경우 (부호 고려 X)$a_3$으로부터 $a_5$를 얻으면$$|a_3| = \left|\frac{a_3 - 1}{2}\right|$$에서 $a_3 = -3, 1$이다. ii) $a_3$가 짝수인 경우 (부호 고려 X, $0$도 짝수로 간주)만약 $a_..

2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (251130 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 $f(0)=0$이라는 조건으로부터$$\sin b = 0$$을 얻고, 이 말은 곧 정수 $m$에 대하여$$b=m\pi$$꼴임을 알 수 있다. 다음으로 $f(2\pi) = 2\pi a+ b$임을 이용하면$$\sin(2\pi a + b) = 2\pi a + b$$임을 얻는데, 방정식 $\sin x = x$의 실근은 $x=0$뿐이므로$$2\pi a + b = 0$$이어야 함을 얻는다. 따라서 $$a= -\frac{m}{2}$$이고 $m$이 정수이므로 주어진 $a$의 범위를 생각했을 때 가능한 $a$의 값은$$a=1, ..

2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 풀이 (251129 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이조건을 살펴보면$$\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| + a_n) = \frac{40}{3}$$이므로 $a_n$의 양수 항들의 합이 $\frac{20}{3}$이고,$$\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| - a_n) = \frac{20}{3}$$이므로 $a_n$의 음수 항들의 합이 $-\frac{10}{3}$이다. 그리고 이 말은 공비가 $r=-\frac{1}{2}$라는 말과 같고,양수항만 취한다고 하면 음, 양이 번갈아가며 나오는 것을 생각했을 때 공비는 $r^2 = \frac{1}{4}$가..

2025학년도 수능 수학 15번 풀이 (251115 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 함수 $g(x)$가 미분가능하다는 조건으로부터$$f(x) = kx^2 + 15x + 7$$임을 알 수 있고, $$g'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2ax + 15 \quad (x\leq 0) \\ 2kx + 15 \quad (x>0) \end{cases}$$이다. $k0$에서 실근을 한 개 갖고, $a\neq 3\sqrt{5}$이므로 방정식 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$은 두 실근을 갖거나, 실근을 갖지 않거나 두 경우 뿐이다. 즉, 방정식 $g'(x)=0$은 세 실근을 갖거나 실근을 한 개 갖는다.그..

2025학년도 수능 수학 21번 풀이 (251121 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이삼차함수 $f(x)$에 대하여 방정식$$f(x)=0$$은 반드시 실근을 적어도 하나는 갖는다.  따라서 문제에서 주어진 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(t)=0$인 어떤 실수 $t$가 존재함을 알 수 있다. 그런데 모든 실수 $\alpha$에 대해 주어진 극한이 수렴해야 하므로 분자도 $0$으로 가야한다, 즉,$$f(t)=0\quad\Longrightarrow\quad f(2t+1) = 0$$임을 얻는다. 그런데 $\alpha=2t+1$이라고 하고 위 과정을 반복하면 (즉, $2t+1$로의 극한을 생각하면)$$\begin{alig..

2025학년도 수능 수학 20번 풀이 (251120 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$은 감소함수이므로 $y=x$와 정확히 한 점에서만 만난다. 문제의 조건으로부터 이 교점의 $x$좌표를 $k$라 하였으므로$$\left(\frac{1}{5}\right)^{k-3} = k$$가 성립한다. 이제 양변을 세제곱하면$$\left(\frac{1}{5}\right)^{3k-9} = k^3 $$이고, 양변을 $k^3$으로 나눈 뒤 양변에 $\left(\frac{1}{5}\right)^9$를 곱하면$$\frac{1}{k^3}\left(\frac{1}{5}\right..

2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 풀이 (251128 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 방정식$$e^{1-x^2}=x$$를 풀면 $x=1$을 유일한 해로 갖는다. 따라서 함수 $f'(x)$의 부호만 조사하면 $x1$일 때 음수이므로함수 $y=f(x)$의 개형과 접선을 그려보면 다음과 같다. 이때 보라색 영역의 넓이가 $g(t)$가 되므로$$\begin{align}g(t)&=\int_0^t \left\{f'(t)(x-t)+f(t)-f(x) \right\}dx \\ &= tf(t)-\frac{1}{2}t^2f'(t) - \int_0^t f(x)dx\end{align}$$임을 알 수 있다. 이제 순..

[수학] 장미곡선 성질 정리 (넓이, 그래프) 안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 장미곡선에 대해 다뤄보겠습니다. 장미곡선이라 함은 다음과 같은 극곡선을 말합니다.$$\begin{align} r&=a\sin(k\theta) \\ r&= a\cos(k\theta)\end{align}$$여기서 $a$와 $k$는 상수인데, $a$는 잎의 크기를 결정하고, $k$는 잎의 개수를 결정합니다. 그리고 식을 쓸 때 $\sin$을 쓰냐 $\cos$를 쓰냐의 차이는 회전의 의미를 나타냅니다.(예를 들어, $r=\sin(2\theta)$와 $r=\cos(2\theta)$는 서로 회전된 관계에 있습니다.)따라서 이 글에서는 전부 $\sin$을 사용하여 서술합니다. 아무튼, 잎의 크기와 개수라니 무슨 말인지 싶으실 것..