수학올인의 수학 기록

[수학] 다항함수와 지수함수의 곱의 빠른 적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 다항함수와 지수함수가 곱해졌을 때 빠른 적분 방법에 대해 알아보겠습니다. 사실 곱해진 함수가 꼭 다항함수일 필요는 없는데요. 다만, 다항함수의 경우 계속 미분을 하다 보면 언젠가는 $0$이 되기 때문에 주로 곱해진 함수가 다항함수일 때 사용하는 편입니다. 그럼 바로 시작할게요. 지수함수의 빠른 부분적분 원하는 만큼 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. 1) $$\int f(x)e^xdx = (f(x) - f'(x) + f''(x) - \cdots)e^x$$ 2) $$\int f(x)e^{-x}dx = -(f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots)e^{-x}$$ 증명은 (이전 포스팅)..

[수학] 도표적분법을 이용한 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도표적분법을 이용한 부분적분을 빠르게 계산하는 방법에 대해 다룰 텐데요. 도표적분법이라는 이름을 다들 어디서 한 번씩은 들어보셨을 것 같습니다. 도표라 함은 우리가 부분적분을 할 때 미분할 함수, 적분할 함수를 표로 만들어서 그려놓는것을 말합니다. 그럼 도표적분법은 우리가 만든 표를 이용해서 적분을 계산하는 것을 말하겠죠? 표는 구체적으로 아래처럼 생겼습니다. 가장 왼쪽 열에는 부호를 플러스부터 교대로 적어 내려 가며, 그 오른쪽엔 미분할 함수를 한 칸 씩 내려갈 때마다 한 번씩 미분하여 적습니다. 그 오른쪽엔 적분할 함수를 한 칸씩 내려갈 때마다 한 번씩 적분하여 적습니다. 그런 뒤 같은 색깔끼리 묶어 더해서 써주면..

[수학] 다항함수와 로그함수의 곱의 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 다항함수와 로그함수가 곱해진 경우에 한정된 빠른 부분적분 계산법에 대해 다뤄보려고 합니다. 우선 본론을 시작하기 전에 아래의 세 가지를 알고 있음을 전제합니다. 만약 모르셨더라도, 지금 이 글을 읽으시며 한 번 확인해보세요. 첫 번째 : 로그함수의 부정적분 $$\int \ln x dx = x\ln x - x$$ 첫 번째로, 위 식처럼 로그함수의 부정적분을 계산할 수 있어야 합니다. 그런데 이건 뭐 다들 아실 거라 생각하긴 합니다. 만약 몰랐더라도 위 식의 결과만 알고 있으면 됩니다. 두 번째 : 치환적분 치환적분의 계산 방법에 대해 알고 있어야 합니다. 만약 모르신다면 치환적분에 대해 먼저 학습해 ..

MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

MIT Integration Bee 2018 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) Q. MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. Q. 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. Q. 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ..

MIT Integration Bee 2017 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

MIT Integration Bee 2016 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요? 구글에 MIT Integration Bee를 검색하시..

MIT Integration Bee 2014 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

MIT Integration Bee 2013 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..